Дано:
- Модуль вектора a = 10
- Вектор b = {4; 3}
Найти:
- Координаты вектора a, который перпендикулярен вектору b.
Решение:
1. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Для векторов a = {x_a; y_a} и b = {4; 3} это будет выглядеть так:
a • b = x_a * 4 + y_a * 3 = 0
2. Мы знаем, что модуль вектора a равен 10:
||a|| = √(x_a^2 + y_a^2) = 10
3. Из этого уравнения можем выразить y_a:
y_a = ±√(10^2 - x_a^2) = ±√(100 - x_a^2)
4. Подставляем y_a в уравнение из первого пункта (скалярное произведение):
x_a * 4 + (±√(100 - x_a^2)) * 3 = 0
5. Решаем для положительного корня:
4x_a + 3√(100 - x_a^2) = 0
3√(100 - x_a^2) = -4x_a
(√(100 - x_a^2))^2 = (−4/3 x_a)^2
100 - x_a^2 = 16/9 * x_a^2
100 = (16/9 + 1) * x_a^2
100 = (25/9) * x_a^2
x_a^2 = 100 * (9/25)
x_a^2 = 36
x_a = ±6
6. Теперь находим соответствующие значения y_a:
Для x_a = 6:
y_a = ±√(100 - 6^2) = ±√(100 - 36) = ±√64 = ±8
Таким образом, получаем две возможные пары координат:
a1 = {6; 8}
a2 = {6; -8}
7. Если x_a = -6:
y_a = ±√(100 - (-6)^2) = ±√(100 - 36) = ±√64 = ±8
Таким образом, получаем еще две возможные пары координат:
a3 = {-6; 8}
a4 = {-6; -8}
Ответ:
Координаты вектора a: {6; 8}, {6; -8}, {-6; 8}, {-6; -8}.