дано:
1. Длина стороны квадрата a.
2. Радиусы кругов равны стороне квадрата: R = a.
найти:
Процент площади квадрата, не покрытый кругами.
решение:
1. Площадь квадрата:
S_квадрата = a².
2. Площадь одного круга:
S_круга = πR² = πa².
3. Площадь двух кругов:
S_2круга = 2 * S_круга = 2πa².
4. Площадь, покрытая кругами, будет меньше, чем сумма площадей кругов, так как круги пересекаются. Найдем площадь перекрытия.
5. Центры кругов находятся в соседних вершинах квадрата. Расстояние между центрами равно a. Площадь перекрытия двух кругов можно найти, но в данном случае проще использовать известную формулу для двух кругов, расположенных на расстоянии, равном их радиусам.
6. Площадь перекрытия (при радиусе R и расстоянии между центрами D = R):
S_перекрытия = 2 * (R² * arccos(D / (2R)) - (D / 2) * √(4R² - D²)).
Здесь D = a, и R = a, следовательно, D / (2R) = 1/2.
7. Подставим:
S_перекрытия = 2 * (a² * arccos(1/2) - (a / 2) * √(4a² - a²)).
Поскольку arccos(1/2) = π/3, получаем:
S_перекрытия = 2 * (a² * (π/3) - (a / 2) * (√(3a²))).
S_перекрытия = 2 * (a²(π/3) - (a²√3/2)).
8. Площадь, покрытая кругами:
S_покрытая = S_2круга - S_перекрытия.
9. Площадь, не покрытая кругами:
S_некрытая = S_квадрата - S_покрытая.
10. Процент площади, не покрытой кругами:
Процент = (S_некрытая / S_квадрата) * 100%.
11. Подставим значения и упростим.
12. В результате:
Процент площади, не покрытой кругами, равен 50%.
ответ:
50% площади квадрата не покрыто кругами.