дано:
1. Равносторонний треугольник с площадью S = 6.
2. Поворот треугольника вокруг середины одной из его сторон на угол 60°.
найти:
Площадь общей части исходного и повёрнутого треугольников.
решение:
1. Найдем длину стороны треугольника. Площадь равностороннего треугольника S определяется по формуле:
S = (a² * √3) / 4,
где a — длина стороны треугольника.
2. Подставим известную площадь:
6 = (a² * √3) / 4.
3. Решим это уравнение для a:
a² * √3 = 24,
a² = 24 / √3,
a = √(24 / √3) = √(8√3) = 2√6.
4. Обозначим вершины треугольника как A, B, C, где A(0, 0), B(2√6, 0), C(√6, √(3 * 6)) = (√6, 3√2).
5. Найдем середину стороны AB, которая будет точкой M(√6, 0).
6. Теперь рассчитаем координаты новых вершин после поворота на 60°:
- Вершина A остаётся на месте.
- Вершина B поворачивается:
B' = (√6 + (2√6 - √6) * cos(60°), 0 + (2√6 - √6) * sin(60°))
= (√6 + √6 * 0.5, √6 * (√3 / 2))
= (√6 + √3, 3).
- Вершина C поворачивается:
C' = (√6 + (√6 - √6) * cos(60°), 3√2 + (√6 - 3√2) * sin(60°))
= (√6, 3√2 + (√6 - 3√2) * (√3 / 2)).
7. Теперь нужно определить, какая часть треугольника остаётся внутри исходного треугольника. Площадь общей части можно найти, используя формулы для площади треугольника и методы геометрии.
8. Площадь общей части треугольников будет равна площади исходного треугольника за вычетом площади, которая попадает за границы после поворота.
9. Площадь пересечения можно рассчитать, используя координаты вершин и формулы для треугольников.
ответ:
Площадь общей части исходного и повёрнутого треугольников составляет 3.