дано:
1. Радиус круга R = 1.
2. Сектор, составляющий четвёртую часть круга (угол 90°).
3. Сектор повёрнут вокруг конца его дуги на угол 45°.
найти:
Площадь общей части исходного и повёрнутого секторов.
решение:
1. Площадь исходного сектора S_исх вычисляется по формуле:
S_исх = (θ / 360°) * πR²,
где θ = 90° и R = 1.
S_исх = (90 / 360) * π * 1² = (1/4) * π = π/4.
2. Конец дуги сектора находится в точке A(1, 0), а радиус OA = 1.
3. После поворота сектора на 45°:
- Новые координаты конца дуги (точка B) будут:
B(1 * cos(45°), 1 * sin(45°)) = (√2/2, √2/2).
4. Теперь нужно найти площадь общей части двух секторов:
- Исходный сектор имеет угол 90°.
- Поворот на 45° создаёт новый сектор с тем же радиусом и новым углом 90°.
5. Общая часть будет представлять собой фигуру, образованную пересечением двух секторов, где одна часть — это треугольник OAB.
6. Площадь треугольника OAB можно вычислить по формуле:
S_треугольника = 0.5 * OA * OB * sin(θ),
где OA = 1, OB = 1, и угол θ между ними = 45°.
S_треугольника = 0.5 * 1 * 1 * sin(45°) = 0.5 * sin(45°) = 0.5 * √2 / 2 = √2 / 4.
7. Теперь найдем площадь общей части:
Площадь общей части = S_исх + S_новый - S_треугольника.
Поскольку площади секторов равны, то:
Площадь общей части = (π/4) + (π/4) - (√2 / 4) = (π/2) - (√2 / 4).
ответ:
Площадь общей части исходного и повёрнутого секторов составляет (π/2) - (√2 / 4).