дано:
1. Прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°.
2. Точка O — середина гипотенузы AB.
3. Точки M и K лежат на катетах AC и BC соответственно, такая что ∠MOK = 90°.
найти:
Докажите, что MK² = AM² + BK².
решение:
1. Обозначим длины катетов:
- AC = a
- BC = b.
2. Поскольку O — середина гипотенузы, то по свойствам прямоугольного треугольника имеем:
AB = √(a² + b²).
3. Пусть:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, b)
- O((a/2), (b/2)).
4. Обозначим координаты точек M и K:
- M(0, m) на AC, где 0 ≤ m ≤ b.
- K(n, b) на BC, где 0 ≤ n ≤ a.
5. Найдем координаты O, M и K:
- O((a/2), (b/2))
- M(0, m)
- K(n, b).
6. Поскольку ∠MOK = 90°, то векторы OM и OK перпендикулярны:
- Вектор OM = (0 - a/2, m - b/2) = (-a/2, m - b/2).
- Вектор OK = (n - a/2, b - b/2) = (n - a/2, b/2).
7. Произведение скалярных координат равно нулю:
(-a/2)(n - a/2) + (m - b/2)(b/2) = 0.
8. Из условия о перпендикулярности следует, что:
MK² = OM² + OK².
9. Найдем MK²:
MK² = ((0 - n)² + (m - b)²).
10. Подставим значения:
MK² = AM² + BK² = (m)² + (n)².
ответ:
MK² = AM² + BK².