Дано:
- Петя измерил угол между часовой и минутной стрелками.
- Через полчаса угол между стрелками остался таким же.
Найти:
- Возможные значения угла между часовой и минутной стрелками.
Решение:
1. Обозначим угол между часовой и минутной стрелками как α.
2. Через полчаса часовая стрелка переместится на 15 градусов, так как она движется на 0.5 градуса в минуту, а минутная стрелка вернется к начальной позиции (вновь будет проходить полный круг).
3. Обозначим начальное время как t минут после 12:00. Тогда начальный угол α можно выразить следующим образом:
α = |30t/60 - 6t| = |t/2 - 6t| = |-(11t/2)| = 11t/2 градусов.
4. Через полчаса, что составляет 30 минут, часовая стрелка переместится на 15 градусов, а минутная стрелка вернется на ту же позицию.
5. Новый угол между стрелками будет:
α' = |(30t/60 + 15) - 6(t + 30)| = |t/2 + 15 - 6t - 180| = |t/2 - 6t - 165| = |-(11t/2) - 165|
6. Условие равенства углов α и α':
11t/2 = 11t/2 + 165 или
11t/2 = |-(11t/2) - 165|
7. Решим уравнение 11t/2 = 11t/2 + 165. Это невозможно.
8. Решаем второе уравнение:
11t/2 = 165
t = 30 минут.
9. Угол при t = 30 минут:
α = 11t/2 = 11*30/2 = 165 градусов.
Ответ:
Возможный угол между стрелками, который остается неизменным через полчаса, равен 165 градусов.