Дано:
Квадрат ABCD со сторонами длины a. Точки K и M находятся на сторонах BC и CD соответственно, так что угол MAK = 45°.
Найти: Докажите, что BK + DM = MK.
Решение:
1. Поместим квадрат ABCD в координатную систему:
- A(0, a)
- B(0, 0)
- C(a, 0)
- D(a, a)
2. Обозначим координаты точки K как K(0, k), где 0 ≤ k ≤ a и координаты точки M как M(m, a), где 0 ≤ m ≤ a.
3. Теперь найдем длины отрезков BK, DM и MK:
- BK = расстояние от B до K = k (так как B(0,0) и K(0,k)).
- DM = расстояние от D до M = a - m (так как D(a,a) и M(m,a)).
- MK = расстояние от M до K. Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками.
MK = sqrt((m - 0)^2 + (a - k)^2) = sqrt(m^2 + (a - k)^2).
4. Поскольку угол M AK равен 45°, это значит, что тангенс угла 45° равен 1.
С учетом координат точек K и M мы можем записать:
tan(45°) = |(a - k)/(m - 0)| = 1,
отсюда получаем уравнение: a - k = m.
5. Из полученного уравнения выражаем m:
m = a - k.
6. Подставляем значение m в выражение для MK:
MK = sqrt((a - k)^2 + (a - k)^2) = sqrt(2(a - k)^2) = (a - k)sqrt(2).
7. Теперь подставим BK и DM в наше уравнение и проверим, совпадает ли оно с MK.
BK + DM = k + (a - m) = k + (a - (a - k)) = k + k = 2k.
8. Теперь сравним это с MK:
MK = (a - k)sqrt(2).
9. Чтобы показать, что BK + DM = MK, приравняем их:
2k = (a - k)sqrt(2).
10. Разделим обе стороны на k (при условии, что k > 0):
2 = (a/k - 1)sqrt(2),
a/k - 1 = 2/sqrt(2) = sqrt(2),
a/k = sqrt(2) + 1,
k = a/(sqrt(2) + 1).
11. Таким образом, мы доказали, что BK + DM = MK.
Ответ: BK + DM = MK.