Дано:
Окружность с радиусом R.
Найти:
Доказать, что любая хорда окружности не превосходит её диаметра.
Решение:
Пусть O - центр окружности, а A и B - концы хорды AB. Поскольку радиус окружности равен R, отрезки OA и OB являются радиусами окружности и имеют длину R. Мы хотим доказать, что длина хорды AB не превосходит диаметра окружности.
1. Из геометрии окружности известно, что длина хорды AB может быть найдена через её расстояние от центра окружности. Обозначим расстояние от центра окружности до хорды AB как d. Тогда длина хорды AB может быть найдена из треугольника OAB, где O - центр окружности.
2. Треугольник OAB является равнобедренным с двумя сторонами радиусами окружности (OA = OB = R). Угол AOB обозначим как 2θ (двойной угол), тогда угол OAB = OBA = θ.
3. Применим теорему косинусов к треугольнику OAB:
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(2θ).
Поскольку OA = OB = R, формула упрощается до:
AB^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(2θ),
AB^2 = 2R^2 - 2R^2 * cos(2θ),
AB^2 = 2R^2 (1 - cos(2θ)).
4. Вспомним, что максимальное значение функции 1 - cos(2θ) достигает 2, когда cos(2θ) = -1, что соответствует углу 180°:
1 - cos(2θ) ≤ 2,
AB^2 ≤ 2R^2 * 2,
AB^2 ≤ 4R^2.
5. Таким образом, длина хорды AB, которая равна sqrt(AB^2), будет:
AB ≤ sqrt(4R^2),
AB ≤ 2R.
6. Значит, длина любой хорды окружности не превосходит диаметра окружности.
Ответ:
Длина любой хорды окружности не превосходит её диаметра.