Дано:
Пусть ABCD — трапеция, где AB и CD — основания, а BC и AD — боковые стороны. Обозначим длины оснований как a и b соответственно. Каждую боковую сторону разбили на три равные части, получив точки деления E, F на стороне AD и точки G, H на стороне BC.
Найти:
Показать, что отрезки EF и GH параллельны основаниям трапеции AB и CD, и найти их длины.
Решение:
1. Обозначим высоту трапеции как h. Так как боковые стороны AD и BC равны, каждый отрезок делит боковые стороны на три равные части, что соответствует высоте h/3 для отрезка EF и 2h/3 для отрезка GH.
2. Применим теорему о пропорциональных отрезках. Параллельные отрезки, проведенные между двумя боковыми сторонами, создают пропорциональные отношения между основаниями.
3. Для отрезка EF, проведенного на высоте h/3, можно записать:
EF = a + (b - a) * (1/3) = a + (b - a) / 3 = (2a + b) / 3.
4. Для отрезка GH, проведенного на высоте 2h/3, получаем:
GH = a + (b - a) * (2/3) = a + (b - a) * (2/3) = (a + 2b) / 3.
5. Таким образом, отрезки EF и GH будут параллельны основаниям AB и CD, так как они находятся на одинаковых пропорциях от высоты h.
Ответ:
Отрезки EF и GH параллельны основаниям трапеции, и их длины равны (2a + b) / 3 и (a + 2b) / 3 соответственно.