Дано: Сторона равностороннего треугольника равна 1.
Найти: Радиус окружности, проходящей через вершину треугольника, середину противоположной стороны и середину еще одной стороны.
Решение:
1. Обозначим равносторонний треугольник как ABC, где AB = BC = CA = 1. Пусть M и N — середины сторон BC и AC соответственно. То есть BM = MC = AN = NC = 0.5.
2. Найдем координаты точек, если треугольник равносторонний и размещен на плоскости. Пусть вершина A находится в начале координат (0, 0), вершина B в точке (1, 0), а вершина C будет в точке (0.5, √3/2), так как высота равностороннего треугольника равна (√3/2) при стороне 1.
3. Середина стороны BC (M) имеет координаты ((0.5, √3/4)). Середина стороны AC (N) имеет координаты ((0.25, √3/4)).
4. Теперь нам нужно найти радиус окружности, проходящей через точки A, M и N. Для этого мы используем формулу для радиуса описанной окружности через три точки A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3):
R = sqrt((x1^2(y2 - y3) + x2^2(y3 - y1) + x3^2(y1 - y2)) / (2 * (x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))))
5. Подставляем координаты:
x1 = 0, y1 = 0
x2 = 0.5, y2 = √3/4
x3 = 0.25, y3 = √3/4
R = sqrt(((0^2 * (√3/4 - √3/4) + 0.5^2 * (√3/4 - 0) + 0.25^2 * (0 - √3/4)) / (2 * (0 * (√3/4 - √3/4) + 0.5 * (√3/4 - 0) + 0.25 * (0 - √3/4)))))
6. Упрощаем:
x1(y2 - y3) = 0 * (√3/4 - √3/4) = 0
x2(y3 - y1) = 0.5 * (√3/4 - 0) = 0.5 * √3/4 = √3/8
x3(y1 - y2) = 0.25 * (0 - √3/4) = -0.25 * √3/4 = -√3/16
Числитель: 0 + √3/8 - √3/16 = √3/16 (совпадает, так как √3/8 = 2 * √3/16)
Сумма в знаменателе: 0 + 0.5 * √3/4 - 0.25 * √3/4 = 0.25 * √3/4 = √3/16
Таким образом:
R = sqrt((√3/16) / (2 * √3/16)) = sqrt(1/2) = 1 / √2
Ответ: Радиус окружности, проходящей через вершину треугольника, середину противоположной стороны и середину еще одной стороны, равен 1 / √2.