Дано:
Трапеция ABCD, где AB || CD. Пусть M — середина боковой стороны AD, а точка E — вершина трапеции B.
Известно, что отрезок EM делит площадь трапеции ABCD в отношении 2:5.
Найти:
Отношение оснований трапеции AB и CD.
Решение:
1. Обозначим длины оснований трапеции как a = AB и b = CD.
2. Площадь трапеции можно выразить как S = (a + b) * h / 2, где h — высота трапеции.
3. Площадь треугольника BEM можно найти по формуле S1 = (1/2) * b * h1, где h1 — высота треугольника, проведенная из вершины B на отрезок EM.
4. Площадь треугольника AEM можно найти по формуле S2 = (1/2) * a * h2, где h2 — высота треугольника, проведенная из точки A на отрезок EM.
5. Площадь S1 + S2 равна площади трапеции S, и по условию S1/S2 = 2/5.
6. Запишем уравнение:
(1/2) * b * h1 + (1/2) * a * h2 = (a + b) * h / 2.
7. Из условия деления площади в отношении 2:5 следует, что S1 = (2/7) * S и S2 = (5/7) * S.
8. Подставим эти площади в уравнение:
(2/7) * S = (1/2) * b * h1,
(5/7) * S = (1/2) * a * h2.
9. Подставим выражение для S:
(2/7) * ((a + b) * h / 2) = (1/2) * b * h1,
(5/7) * ((a + b) * h / 2) = (1/2) * a * h2.
10. Упростим:
(2 * (a + b) * h) / 14 = b * h1,
(5 * (a + b) * h) / 14 = a * h2.
11. Разделим эти уравнения:
(2 * (a + b)) / (5 * (a + b)) = b * h1 / (a * h2).
Упростим:
2/5 = (b * h1) / (a * h2).
12. Теперь выразим h1 и h2 через общую высоту h:
h1 = h * (b / (a + b)),
h2 = h * (a / (a + b)).
13. Подставим в уравнение:
2/5 = (b * (h * (b / (a + b)))) / (a * (h * (a / (a + b)))).
14. Упростим:
2/5 = (b^2) / (a^2).
15. Получаем:
2a^2 = 5b^2.
16. Отношение оснований:
a/b = sqrt(5/2).
Ответ:
Отношение оснований трапеции AB и CD равно sqrt(5/2).