Дано:
Прямоугольный треугольник с катетами a и b. Окружность касается катетов и центр окружности лежит на гипотенузе.
Найти:
Радиус r окружности.
Решение:
1. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты:
S = (1/2) * a * b.
2. Полупериметр треугольника:
p = (a + b + c) / 2,
где c — гипотенуза, которая равна c = sqrt(a^2 + b^2).
3. Подставим значение c:
p = (a + b + sqrt(a^2 + b^2)) / 2.
4. Радиус вписанной окружности (r) в прямоугольный треугольник можно выразить через площадь и полупериметр:
r = S / p.
5. Подставим выражения для S и p:
r = [(1/2) * a * b] / [(a + b + sqrt(a^2 + b^2)) / 2].
6. Упростим:
r = (a * b) / (a + b + sqrt(a^2 + b^2)).
Ответ:
Радиус окружности равен (a * b) / (a + b + sqrt(a^2 + b^2)).