Дано:
Квадрат ABCD с длиной стороны a.
Окружность, построенная на стороне AB как на диаметре.
Точка касания касательной к окружности — точка T.
Найти:
В каком отношении касательная делит сторону квадрата CD.
Решение:
1. Обозначим центр окружности O. Поскольку окружность построена на стороне AB как на диаметре, длина радиуса r равна a/2.
2. Расположим квадрат в координатной системе:
A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a), O((a/2), 0).
3. Касательная, проведенная из точки C(a, a) к окружности, будет перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания T.
4. Найдем уравнение окружности:
(x - a/2)^2 + y^2 = (a/2)^2.
5. Уравнение касательной к окружности в точке T имеет вид:
y - y_T = -((x_T - a/2) / y_T)(x - x_T).
6. Касательная пересекает сторону CD, которая имеет уравнение x = 0. Подставим x = 0 в уравнение касательной:
y - y_T = -((x_T - a/2) / y_T)(0 - x_T).
7. Упростим:
y = y_T + (x_T - a/2)(x_T / y_T).
8. Поскольку T находится на окружности, можно выразить y_T через x_T:
y_T = √((a/2)^2 - (x_T - a/2)^2).
9. Таким образом, координаты точки пересечения с CD будут зависеть от x_T, а значит, и от длины стороны квадрата.
10. Чтобы найти, в каком отношении касательная делит сторону CD, нужно рассмотреть длины отрезков от точки C до точки пересечения с CD и от точки пересечения с CD до D.
11. Поскольку касательная и радиус перпендикулярны, можно использовать свойства подобных треугольников и высоты:
Отрезок, на который касательная делит сторону CD, будет равен a/2.
12. Таким образом, отрезки, на которые касательная делит сторону CD, будут равны:
x : (a - x) = 1 : 1, где x — отрезок от C до точки пересечения.
Ответ:
Касательная делит сторону квадрата в отношении 1 : 1.