Дано:
- Прямоугольник размера 11 x 15.
- В каждой клетке прямоугольника находится либо крестик, либо нолик.
- В каждой строке прямоугольника крестиков больше, чем ноликов.
Найти:
- Доказать, что существует хотя бы один столбец, в котором крестиков больше, чем ноликов.
Решение:
1. Обозначим количество крестиков в строке i как C_i, а количество ноликов в строке i как N_i. Поскольку в каждой строке крестиков больше, чем ноликов, то выполняется неравенство C_i > N_i для всех i от 1 до 11.
2. Суммарное количество крестиков в прямоугольнике равно сумме C_i по всем строкам, а суммарное количество ноликов равно сумме N_i по всем строкам. Поскольку в каждой строке крестиков больше, чем ноликов, то сумма всех C_i больше суммы всех N_i.
Пусть в каждой строке количество крестиков превышает количество ноликов на k_i. Тогда:
C_i = N_i + k_i
Для каждой строки i это неравенство выполняется.
3. Обозначим общее количество крестиков в прямоугольнике как C и общее количество ноликов как N. Из условия видно, что:
C = C_1 + C_2 + ... + C_11
N = N_1 + N_2 + ... + N_11
Поскольку C_i > N_i для всех i, мы можем сказать:
C > N
4. Переходим к анализу столбцов. Пусть количество крестиков в столбце j обозначается как C_j, а количество ноликов в столбце j — как N_j. Нам нужно показать, что существует хотя бы один столбец j, в котором C_j > N_j.
5. Рассмотрим сумму разностей между количеством крестиков и ноликов для всех столбцов. Сначала вычислим эту разность для всех столбцов:
Сумма разностей = (C_1 - N_1) + (C_2 - N_2) + ... + (C_15 - N_15)
6. Сумма разностей между количеством крестиков и ноликов по строкам равна:
(C_1 - N_1) + (C_2 - N_2) + ... + (C_11 - N_11)
Сумма этой разности равна разности общего количества крестиков и общего количества ноликов:
C - N
7. Сумма разностей по столбцам также равна:
(C_1 - N_1) + (C_2 - N_2) + ... + (C_15 - N_15)
И она равна C - N.
8. Поскольку C > N, разность C - N положительна. Таким образом, сумма разностей по столбцам также положительна. Это означает, что по крайней мере один из столбцов имеет положительное значение разности, т.е., существует хотя бы один столбец, в котором количество крестиков больше, чем количество ноликов.
Ответ:
Обязательно найдется хотя бы один столбец, в котором крестиков больше, чем ноликов.