Дано:
100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5051.
Найти:
Эти числа и доказать, что других решений нет.
Решение:
1. Обозначим натуральные числа как a1, a2, a3, ..., a100. Условие задачи можно записать как:
a1 + a2 + a3 + ... + a100 = 5051
2. Поскольку числа различны и натуральные, минимальные значения чисел должны быть от 1 до 100.
3. Сначала найдем сумму первых 100 натуральных чисел:
1 + 2 + 3 + ... + 100
Сумма первых n натуральных чисел дается формулой:
S = n * (n + 1) / 2
Подставляем n = 100:
S = 100 * (100 + 1) / 2 = 100 * 101 / 2 = 5050
4. Сумма первых 100 натуральных чисел равна 5050, а в задаче требуется сумма 5051. Это означает, что необходимо добавить 1 к какой-либо из чисел в наборе {1, 2, 3, ..., 100}.
5. Проверим возможность получения суммы 5051, увеличив одно из чисел:
Если увеличить число 100 на 1, то мы получаем 101 вместо 100.
Таким образом, числа будут: {1, 2, 3, ..., 99, 101}.
6. Проверим сумму этих чисел:
Сумма чисел от 1 до 99:
1 + 2 + 3 + ... + 99
Используем ту же формулу для суммы первых n натуральных чисел:
S = n * (n + 1) / 2
Подставляем n = 99:
S = 99 * 100 / 2 = 4950
Добавляем 101:
4950 + 101 = 5051
Получаем нужную сумму 5051.
7. Проверим, можно ли использовать другие числа:
Чтобы сумма была равна 5051, увеличив больше одного числа, мы бы вышли за пределы допустимого диапазона или сделали числа неразличными. Использование других чисел также привело бы к сумме, превышающей 5051 или нарушило бы условие различия чисел.
8. Мы можем заключить, что уникальный набор чисел, который удовлетворяет всем условиям задачи:
{1, 2, 3, ..., 99, 101}
Ответ:
1, 2, 3, ..., 99, 101