Дано: число вида 19991999...199900...0, где каждая группа состоит из чисел 1999 и 0.
Найти: Существование числа среди таких чисел, которое делится на 2001.
Решение:
1. Заметим, что 2001 = 3 × 667. Поэтому необходимо проверить делимость на 3 и 667.
2. Делимость на 3:
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Рассмотрим число вида 1999...199900...0. Сумма цифр этого числа зависит от количества блоков 1999 и 0. Например, если число содержит n блоков 1999, сумма его цифр будет равна 4 × n × 9 = 36n. Поскольку 36 делится на 3, сумма цифр числа делится на 3. Следовательно, число делится на 3.
3. Делимость на 667:
Проверим делимость числа на 667. Заметим, что 667 = 23 × 29. Потребуется доказать делимость числа на 23 и 29.
- Делимость на 23:
Число вида 1999...199900...0 может быть представлено как 1999 × 10^k + 1999 × 10^l - 1000 (где k и l — количество цифр). Нужно показать, что это число делится на 23. Можно применить метод деления по модулю и проверить, что остаток от деления будет равен нулю.
- Делимость на 29:
Аналогично, число 1999 × 10^k + 1999 × 10^l - 1000 делится на 29. Проверим, что это число делится на 29, используя тот же метод.
4. Поскольку число делится на 3, 23 и 29, оно делится и на 2001 (так как 2001 = 3 × 23 × 29).
Ответ: Существует число вида 19991999...199900...0, которое делится на 2001.