Дано:
- На плоскости проведено n прямых, никакие две из которых не параллельны.
Найти:
- Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми не больше 180°/n.
Решение:
1. Для n прямых, образующих 360° на плоскости, рассмотрим углы между всеми возможными парами этих прямых. Поскольку все прямые пересекаются в одной точке, любые две прямые определяют угол между собой, который можно измерить от 0° до 180°.
2. Разделим круг (360°) на n равных частей. Каждый угол между двумя соседними прямыми в таком равномерном распределении равен 360°/n.
3. Если взять n прямых и расположить их так, что они равномерно распределены по кругу, углы между соседними прямыми будут равны 360°/n. Однако поскольку углы между любыми двумя прямыми могут быть меньше 180°, нам необходимо учитывать, что если между некоторыми парами углы больше, чем 180°/n, то существует другая пара, угол между которыми меньше 180°/n.
4. Применим принцип Дирихле: для n прямых, каждая из которых определяет угол в диапазоне от 0° до 180°, если разделить этот диапазон на n равных частей, то в любом случае найдется пара прямых, угол между которыми не будет превышать 180°/n.
Ответ:
1. Для n = 7, найдутся две прямые, угол между которыми не больше 180°/7 ≈ 25.71°.
2. Для любого n, найдутся две прямые, угол между которыми не больше 180°/n.