Дано: Равносторонний треугольник со стороной 3 м. Внутри треугольника расположены 10 гвоздик.
Найти: Доказать, что найдутся две гвоздики, расстояние между которыми не больше 1 м.
Решение:
1. Разделим треугольник на 9 меньших равносторонних треугольников. Для этого проведем отрезки, соединяющие точки деления сторон большого треугольника на 3 равные части и его вершины. Это создаст 9 треугольников с стороной 1 м.
2. Площадь большого треугольника равна (3^2 * sqrt(3)) / 4 = 9 * sqrt(3) / 4. Площадь каждого меньшего треугольника равна (1^2 * sqrt(3)) / 4 = sqrt(3) / 4.
3. Воспользуемся принципом Дирихле. У нас 10 гвоздик и 9 меньших треугольников. Согласно принципу Дирихле, по крайней мере в одном из этих меньших треугольников окажется как минимум 2 гвоздики.
4. В любом из меньших треугольников сторона которого равна 1 м, расстояние между двумя точками внутри него не может превышать 1 м.
Таким образом, существует пара гвоздик, расстояние между которыми не больше 1 м.
Ответ: Да, найдутся две гвоздики, расстояние между которыми не больше 1 м.