Дано: бесконечный лист клетчатой бумаги с узлами, окрашенными в два цвета.
Найти: существуют ли две горизонтальные и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат точки одного цвета.
Решение:
1. Рассмотрим бесконечный лист как сетку, где каждая клетка имеет два цвета.
2. Выберем произвольные две горизонтальные прямые y1 и y2 и две вертикальные прямые x1 и x2. Эти прямые образуют прямоугольник.
3. Поскольку каждая клетка окрашена в один из двух цветов и имеется бесконечное количество клеток, в любом прямоугольнике, сформированном этими прямыми, будут точки обоих цветов.
4. Поскольку у нас есть две горизонтальные и две вертикальные прямые, мы образуем прямоугольник с четырьмя углами. По теореме о четырёх углах, каждый угол прямоугольника может быть окрашен в один из двух цветов.
5. Используем принцип Дирихле: если мы имеем 4 угла и 2 цвета, то по крайней мере два угла будут одного цвета.
6. Следовательно, всегда найдутся две горизонтальные и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат точки одного цвета.
Ответ: Да, существуют две горизонтальные и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат точки одного цвета.