Дано:
- Квадратная таблица 15 на 15, клетки раскрашены в три цвета: красный, синий и зелёный.
- Необходимо доказать, что найдётся по крайней мере две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.
Найти:
- Доказательство, что в таблице найдутся по крайней мере две строки, где количество клеток хотя бы одного цвета совпадает.
Решение:
1. Рассмотрим таблицу размером 15 на 15. Всего в таблице 15 * 15 = 225 клеток.
2. В каждой строке таблицы 15 клеток. Поскольку клеток три цвета, каждая строка может содержать клетки этих трёх цветов в различных количествах. Пусть количество клеток каждого цвета в строке обозначается как a (красные), b (синие) и c (зелёные), где a + b + c = 15.
3. Мы рассматриваем 15 строк, и нам нужно выяснить, найдутся ли две строки, в которых количество клеток хотя бы одного цвета совпадает.
4. Рассмотрим количество возможных распределений клеток одного цвета в строке. Пусть цвет красный (аналогично можно рассмотреть и для других цветов). Количество клеток красного цвета в строке может быть от 0 до 15.
5. Это создаёт 16 возможных значений для количества красных клеток в строке (0, 1, 2, ..., 15).
6. Аналогично, для синего и зелёного цветов также имеется 16 возможных значений для количества клеток в строке.
7. Всего для каждой строки мы можем определить количество клеток каждого цвета в виде тройки (a, b, c), где a + b + c = 15. Следовательно, возможных комбинаций распределений цвета в строке будет 16 * 16 = 256.
8. Однако, у нас только 15 строк, и каждая строка может быть одной из 16 возможных тройки значений (a, b, c) для любого цвета.
9. Используя принцип Дирихле, если у нас больше строк (15) чем уникальных распределений цвета (16 возможных значений), то по крайней мере две строки должны иметь одинаковое распределение хотя бы одного цвета.
10. Следовательно, найдутся по крайней мере две строки, где количество клеток хотя бы одного цвета совпадает.
Ответ:
В квадратной таблице 15 на 15, раскрашенной в три цвета, найдутся по крайней мере две строки, в которых количество клеток хотя бы одного цвета будет совпадать.