дано:
- Число A = 1000a + 100b + 10c + d, где a, b, c, d — цифры, все различные.
- A при делении на 3, 5, 7 и 11 дает одинаковые остатки, равные 1.
найти:
- Исходное число A.
решение:
1. Запишем систему сравнений:
A ≡ 1 (mod 3)
A ≡ 1 (mod 5)
A ≡ 1 (mod 7)
A ≡ 1 (mod 11)
Это означает, что A = k * 1155 + 1, где 1155 = 3 * 5 * 7 * 11 — общий модуль.
2. Найдем такие значения k, при которых A будет четырехзначным числом. Начнем с k = 0:
A = 1155 * 0 + 1 = 1 (не подходит, так как это не четырехзначное число)
Теперь k = 1:
A = 1155 * 1 + 1 = 1156 (четырехзначное число)
3. Проверим, удовлетворяет ли 1156 условиям задачи:
- 1156 % 3 = 1 (подходит)
- 1156 % 5 = 1 (подходит)
- 1156 % 7 = 1 (подходит)
- 1156 % 11 = 1 (подходит)
Все условия выполняются, и цифры числа 1156 все различные.
ответ:
1156