дано:
объем куба V = 108.
найти:
объем пирамиды OABCD.
решение:
Сначала найдем длину ребра куба. Объем куба вычисляется по формуле:
V = a³,
где a - длина ребра куба. Подставим известное значение объема:
108 = a³.
Теперь найдем a, взяв кубический корень из 108:
a = ∛108 = 6.
Теперь определим координаты точек куба ABCDA1B1C1D1. Пусть A(0, 0, 0), B(6, 0, 0), C(6, 6, 0), D(0, 6, 0), A1(0, 0, 6), B1(6, 0, 6), C1(6, 6, 6), D1(0, 6, 6).
Точка O – это центр грани CC1D1D. Для нахождения координат этой точки найдем среднюю точку между точками C, C1, D и D1:
C(6, 6, 0), C1(6, 6, 6), D(0, 6, 0), D1(0, 6, 6).
Координаты точки O будут:
O_x = (6 + 6 + 0 + 0) / 4 = 3,
O_y = (6 + 6 + 6 + 6) / 4 = 6,
O_z = (0 + 6 + 0 + 6) / 4 = 3.
Таким образом, O(3, 6, 3).
Теперь для нахождения объема пирамиды OABCD воспользуемся следующей формулой:
V_OABCD = (1/3) * S * h,
где S - площадь основания ABCD, h - высота от точки O до плоскости ABCD.
Площадь основания ABCD равна:
S = a² = 6² = 36.
Высота h равна расстоянию от точки O до плоскости ABCD, которая находится на уровне z = 0. Так как O имеет координату z = 3, то:
h = 3.
Теперь подставим найденные значения в формулу:
V_OABCD = (1/3) * 36 * 3.
Упрощаем:
V_OABCD = 36.
ответ:
Объем пирамиды OABCD равен 36.