Дано:
- Куб ABCDA1B1C1D1.
- Точка O — центр грани AA1B1.
- Необходимо найти угол между прямыми ОС и B1D.
Решение:
1. Поместим точки в систему координат:
- Пусть A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), C = (a, a, 0), D = (0, a, 0), A1 = (0, 0, a), B1 = (a, 0, a), C1 = (a, a, a), D1 = (0, a, a).
- Центр грани AA1B1 — это точка O, которая будет находиться посередине от A и B1, то есть O = (a/2, 0, a/2).
2. Вектор ОС:
ОС = C - O = (a, a, 0) - (a/2, 0, a/2) = (a/2, a, -a/2).
3. Вектор B1D:
B1D = D - B1 = (0, a, 0) - (a, 0, a) = (-a, a, -a).
4. Угол между прямыми ОС и B1D можно найти через скалярное произведение их направляющих векторов:
cos(θ) = (ОС · B1D) / (|ОС| |B1D|).
Сначала находим скалярное произведение ОС и B1D:
ОС · B1D = (a/2)(-a) + (a)(a) + (-a/2)(-a) = -a^2/2 + a^2 + a^2/2 = a^2.
5. Теперь находим длины векторов:
|ОС| = √((a/2)^2 + a^2 + (-a/2)^2) = √(a^2/4 + a^2 + a^2/4) = √(a^2) = a.
|B1D| = √((-a)^2 + a^2 + (-a)^2) = √(a^2 + a^2 + a^2) = √(3a^2) = √3 * a.
6. Теперь находим косинус угла:
cos(θ) = a^2 / (a * √3 * a) = 1 / √3.
7. Угол θ:
θ = arccos(1/√3) = 54,74°.
Ответ:
Угол между прямыми ОС и B1D равен 54,74°.