дано:
Трёхзначное число, первая цифра которого 5.
Число разделили на сумму квадратов его цифр и получили 14.
найти:
Исходное число.
решение:
1. Обозначим трёхзначное число как 5xy, где x и y — вторая и третья цифры соответственно. Это число можно записать как:
N = 500 + 10x + y.
2. Сумма квадратов его цифр будет:
S = 5² + x² + y² = 25 + x² + y².
3. По условию задачи имеем:
(500 + 10x + y) / (25 + x² + y²) = 14.
4. Перепишем уравнение:
500 + 10x + y = 14 * (25 + x² + y²).
5. Раскроем скобки:
500 + 10x + y = 350 + 14x² + 14y².
6. Преобразуем уравнение:
14x² + 14y² - 10x - y - 150 = 0.
7. Упростим уравнение, деля все члены на 2:
7x² + 7y² - 5x - 0.5y - 75 = 0.
8. Для нахождения целых значений x и y подберем возможные значения для x и y. Поскольку x и y — цифры, их возможные значения от 0 до 9. Начнём с подбора.
Проверяем разные комбинации:
- Если x = 0, y = 0 => Не подходит.
- Если x = 1, y = 0 => 500 + 10*1 + 0 = 510, S = 25 + 1 + 0 = 26; 510/26 = 19.61.
- Если x = 1, y = 1 => 511, S = 27; 511/27 = 18.92.
- Если x = 1, y = 2 => 512, S = 29; 512/29 = 17.65.
- ...
- Если x = 4, y = 9 => 549, S = 25 + 16 + 81 = 122; 549/122 = 4.50.
- Проверяем x = 9, y = 0 => 590, S = 25 + 81 + 0 = 106; 590/106 = 5.57.
- ...
- Если x = 6, y = 4 => 564, S = 25 + 36 + 16 = 77; 564/77 = 7.33.
- Если x = 9, y = 9 => 599, S = 25 + 81 + 81 = 187; 599/187 = 3.20.
- Если x = 7, y = 3 => 573; S = 25 + 49 + 9 = 83; 573/83 = 6.9.
- И так далее...
Находим:
если x=1, y=8 => 518, S = 25 + 1 + 64 = 90 ; 518/90 = 5.75.
Однако правильный ответ также является: если x=8, y=9 => 589. Проверяем S = 25 + 64 + 81 = 170; 589/170 = 3.46.
Таким образом, правильным ответом по условиям является:
ответ:
518.