дано:
- Равнобедренный треугольник ABC с AC = BC = 2√2
- Угол при вершине C равен 45°
найти:
- Высоту АН, проведённую из вершины A на основание BC
решение:
1. Найдём основание BC. Поскольку треугольник равнобедренный, угол при вершине C равен 45°, а следовательно, углы при основании равны. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, углы при основании будут по 67.5°.
2. Используем косинусное правило для нахождения длины основания BC:
BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 * AC * AB * cos(угол между ними)
BC^2 = (2√2)^2 + (2√2)^2 - 2 * (2√2) * (2√2) * cos(45°)
BC^2 = 8 + 8 - 8 * cos(45°)
cos(45°) = √2 / 2
BC^2 = 16 - 8 * (√2 / 2)
BC^2 = 16 - 4√2
BC = √(16 - 4√2)
3. Найдём высоту АН. Для этого используем формулу площади треугольника. Площадь можно вычислить двумя способами:
- Через треугольник ABC:
Площадь = 0.5 * AC * BC * sin(угол между ними)
Площадь = 0.5 * (2√2) * (√(16 - 4√2)) * sin(45°)
sin(45°) = √2 / 2
Площадь = 0.5 * (2√2) * (√(16 - 4√2)) * (√2 / 2)
Площадь = 0.5 * (2) * (√(16 - 4√2))
Площадь = √(16 - 4√2)
- Через высоту АН:
Площадь = 0.5 * BC * АН
√(16 - 4√2) = 0.5 * BC * АН
АН = 2 * √(16 - 4√2) / BC
4. Подставляем значение BC:
BC = 2
5. Высота АН = √(16 - 4√2) / 2
ответ:
√(16 - 4√2) / 2