Дано:
- Число при делении на 3 и 5 даёт в остатке 1.
- При делении на 17 оно даёт в остатке 8.
Найти:
- Трёхзначное число, которое соответствует этим условиям.
Решение:
1. Обозначим искомое число как N.
2. Согласно условиям задачи, N при делении на 3 и на 5 даёт в остатке 1. Это означает, что N можно выразить как:
N = 3k + 1
N = 5m + 1
Это можно объединить в одно уравнение:
N ≡ 1 (mod 3)
N ≡ 1 (mod 5)
Таким образом, N должно быть равно 1 по модулю 15:
N ≡ 1 (mod 15)
3. Также известно, что при делении на 17 число даёт в остатке 8:
N ≡ 8 (mod 17)
4. Найдём N, которое удовлетворяет обоим условиям. Нам нужно найти такое N, которое удовлетворяет системе:
N ≡ 1 (mod 15)
N ≡ 8 (mod 17)
Для этого можно воспользоваться методом подстановки. Запишем N как:
N = 15a + 1
Подставим это в второе уравнение:
15a + 1 ≡ 8 (mod 17)
15a ≡ 7 (mod 17)
5. Найдём значение a. Для этого решим уравнение 15a ≡ 7 (mod 17). Используем метод перебора для нахождения a:
Проверим значения a:
a = 1: 15 * 1 = 15, 15 mod 17 = 15
a = 2: 15 * 2 = 30, 30 mod 17 = 13
a = 3: 15 * 3 = 45, 45 mod 17 = 11
a = 4: 15 * 4 = 60, 60 mod 17 = 9
a = 5: 15 * 5 = 75, 75 mod 17 = 7
Найдено, что a = 5 подходит.
6. Подставим a = 5 в выражение N:
N = 15 * 5 + 1
= 75 + 1
= 76
7. Проверим, что 76 удовлетворяет всем условиям:
76 mod 3 = 1
76 mod 5 = 1
76 mod 17 = 8
Следовательно, 76 удовлетворяет всем условиям, но это не трёхзначное число.
Проверим следующее возможное число, добавив 15 (период):
N = 76 + 15
= 91
91 mod 3 = 1
91 mod 5 = 1
91 mod 17 = 8
Это тоже не трёхзначное число.
Проверим дальше:
N = 91 + 15
= 106
106 mod 3 = 2 (не подходит)
Проверим далее:
N = 106 + 15
= 121
121 mod 3 = 1
121 mod 5 = 1
121 mod 17 = 8
121 удовлетворяет всем условиям.
Ответ:
Одно из трёхзначных чисел, удовлетворяющих условиям, это 121.