Дано:
- Число при делении на 3 и на 11 даёт в остатке 1.
- Число при делении на 7 даёт в остатке 3.
- Нужно найти трёхзначное число.
Найти:
- Трёхзначное число, удовлетворяющее указанным условиям.
Решение:
1. Обозначим искомое число как x.
2. Условие при делении на 3 и на 11: x ≡ 1 (mod 3) и x ≡ 1 (mod 11).
Это можно объединить в одно уравнение: x ≡ 1 (mod 33), так как 33 = 3 * 11.
3. Условие при делении на 7: x ≡ 3 (mod 7).
4. Теперь решим систему уравнений:
x ≡ 1 (mod 33)
x ≡ 3 (mod 7)
Для этого найдем x, которое удовлетворяет этим условиям.
5. Первое уравнение можно записать как:
x = 33k + 1, где k — целое число.
6. Подставим это в второе уравнение:
33k + 1 ≡ 3 (mod 7)
Упростим:
33 ≡ 5 (mod 7) (так как 33 = 4*7 + 5)
Следовательно, уравнение превращается в:
5k + 1 ≡ 3 (mod 7)
7. Решим это уравнение:
5k ≡ 2 (mod 7)
Найдем обратное значение 5 по модулю 7, которое равно 3 (так как 5*3 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7)).
Умножим обе стороны уравнения на 3:
k ≡ 2 * 3 (mod 7)
k ≡ 6 (mod 7)
8. Подставим значение k:
k = 7m + 6, где m — целое число.
Следовательно:
x = 33(7m + 6) + 1
= 231m + 199
9. Найдем трёхзначное число:
Для m = 0:
x = 199
Для m = 1:
x = 231 + 199 = 430
Для m = 2:
x = 231 * 2 + 199 = 661
Для m = 3:
x = 231 * 3 + 199 = 892
Числа 199, 430, 661 и 892 — все трёхзначные, но нужно одно из них.
10. Проверим все эти числа:
- 199: 199 % 3 = 1, 199 % 11 = 1, 199 % 7 = 3
- 430: 430 % 3 = 2, 430 % 11 = 2, 430 % 7 = 2
- 661: 661 % 3 = 2, 661 % 11 = 1, 661 % 7 = 3
- 892: 892 % 3 = 2, 892 % 11 = 1, 892 % 7 = 3
Из всех проверенных чисел только 199 удовлетворяет всем условиям.
Ответ:
Искомое трёхзначное число — 199.