дано:
- Трехзначное натуральное число N.
- Число не кратно 10.
- При делении на 7 и на 11 число дает одинаковые остатки, отличные от нуля.
- Вторая цифра является средним арифметическим первой и последней цифры.
найти:
- Найти такое число N, которое удовлетворяет указанным условиям.
решение:
1. Обозначим число N как ABC, где A, B и C - его цифры. Тогда N = 100A + 10B + C.
2. Согласно условию, число N при делении на 7 и на 11 дает одинаковые остатки. Пусть этот остаток равен r (где 1 ≤ r < 7).
Таким образом, мы можем записать:
N ≡ r (mod 7)
N ≡ r (mod 11)
Это означает, что N ≡ r (mod 77), где 77 = 7 * 11.
3. Поскольку число N не кратно 10, последняя цифра C не равна 0.
4. Вторая цифра B является средним арифметическим первой и последней цифры, то есть B = (A + C) / 2.
5. Мы проверим возможные значения r от 1 до 6 и соответствующие числа N, удовлетворяющие условиям:
Для r = 1:
N = 77k + 1 (где k - целое число)
Проверим для k = 1, 2, 3,..., пока не найдем трехзначное число:
- k = 1: N = 77 * 1 + 1 = 78 (не трехзначное)
- k = 2: N = 77 * 2 + 1 = 155
Проверим: 155 не делится на 10, остатки при делении на 7 и 11 равны 1.
Разобьем 155 на цифры: A = 1, B = 5, C = 5.
Проверим среднее арифметическое: B = (A + C) / 2 = (1 + 5) / 2 = 3.
Поэтому 155 не подходит.
Продолжаем проверять:
Для r = 2:
- k = 1: N = 77 * 1 + 2 = 79 (не трехзначное)
- k = 2: N = 77 * 2 + 2 = 156 (проверка аналогично показывает, что не подходит)
Для r = 3:
- k = 1: N = 77 * 1 + 3 = 80 (не подходит, так как кратно 10)
Для r = 4:
- k = 1: N = 77 * 1 + 4 = 81
- k = 2: N = 77 * 2 + 4 = 158
Проверим 158:
- 158 не делится на 10.
- Остатки при делении на 7 и 11 равны 4.
- Цифры числа: A = 1, B = 5, C = 8.
- Среднее арифметическое: B = (A + C) / 2 = (1 + 8) / 2 = 4.5. (не подходит)
Для r = 5:
- k = 1: N = 77 * 1 + 5 = 82 (не подходит)
- k = 2: N = 77 * 2 + 5 = 159
Проверим 159:
- 159 не делится на 10.
- Остатки при делении на 7 и 11 равны 5.
- Цифры числа: A = 1, B = 5, C = 9.
- Среднее арифметическое: B = (A + C) / 2 = (1 + 9) / 2 = 5. (подходит)
Таким образом, 159 удовлетворяет всем условиям задачи.
ответ:
159