Дано:
- Трехзначное число, при делении на 5 дает в остатке 1
- Это же число при делении на 7 дает в остатке 1
- Это же число при делении на 11 дает в остатке 6
Найти:
- Трехзначное число
Решение:
1. Обозначим искомое число как N.
2. Учитывая условия задачи, можно записать систему конгруэнций:
N ≡ 1 (mod 5)
N ≡ 1 (mod 7)
N ≡ 6 (mod 11)
3. Заметим, что для двух первых условий число N при делении на 5 и 7 оставляет один и тот же остаток. Поскольку 5 и 7 взаимно просты, их произведение равно 35. Таким образом, можем объединить два первых условия в одно:
N ≡ 1 (mod 35)
4. Теперь решим систему:
N ≡ 1 (mod 35)
N ≡ 6 (mod 11)
5. Подставим выражение N = 35k + 1 в второе уравнение:
35k + 1 ≡ 6 (mod 11)
6. Упростим это уравнение:
35k + 1 ≡ 6 (mod 11)
35 ≡ 2 (mod 11) (так как 35 = 3*11 + 2)
2k + 1 ≡ 6 (mod 11)
2k ≡ 5 (mod 11)
7. Найдем k, решив уравнение 2k ≡ 5 (mod 11). Для этого найдем обратный элемент к 2 по модулю 11. Обратный элемент равен 6, так как 2 * 6 = 12 ≡ 1 (mod 11).
8. Умножим обе стороны уравнения на 6:
k ≡ 5 * 6 (mod 11)
k ≡ 30 (mod 11)
k ≡ 8 (mod 11)
9. Подставим найденное значение k в выражение для N:
N = 35k + 1
N = 35*8 + 1
N = 280 + 1
N = 281
Ответ:
281