дано:
- Трехзначное натуральное число, не кратное 10.
- При делении на 3 и на 7 оно даёт одинаковые остатки, отличные от нуля.
- Вторая цифра является средним арифметическим первой и последней цифры.
найти:
- Трехзначное число, удовлетворяющее указанным условиям.
решение:
1. Обозначим наше число как `x`. Пусть остаток от деления `x` на 3 и на 7 равен `r`. Поскольку `x` даёт одинаковый остаток `r` при делении на 3 и на 7, мы можем записать:
x ≡ r (mod 3)
x ≡ r (mod 7)
Это также можно записать как:
x = 3k + r
x = 7m + r
Приравняем оба выражения:
3k + r = 7m + r
3k = 7m
Следовательно, 3k должно быть кратно 7. Найдём подходящее значение `k`:
Для этого заметим, что минимальное значение `k` при котором 3k кратно 7 - это k = 7, так как 3 * 7 = 21, которое кратно 7.
Таким образом, k = 7:
x = 3 * 7 + r = 21 + r
Теперь определим, что остаток r может принимать значения от 1 до 2 (так как r ≠ 0 и r < min(3, 7)).
Попробуем значения r:
- Для r = 1:
x = 21 + 1 = 22 (не является трехзначным числом).
- Для r = 2:
x = 21 + 2 = 23 (тоже не является трехзначным числом).
Теперь проверим более высокие значения для k:
При k = 14:
x = 3 * 14 + r = 42 + r
Пробуем значения r:
- Для r = 1:
x = 42 + 1 = 43 (не является трехзначным числом).
- Для r = 2:
x = 42 + 2 = 44 (не является трехзначным числом).
При k = 21:
x = 3 * 21 + r = 63 + r
Пробуем значения r:
- Для r = 1:
x = 63 + 1 = 64 (не является трехзначным числом).
- Для r = 2:
x = 63 + 2 = 65 (не является трехзначным числом).
При k = 28:
x = 3 * 28 + r = 84 + r
Пробуем значения r:
- Для r = 1:
x = 84 + 1 = 85 (не является трехзначным числом).
- Для r = 2:
x = 84 + 2 = 86 (не является трехзначным числом).
При k = 35:
x = 3 * 35 + r = 105 + r
Пробуем значения r:
- Для r = 1:
x = 105 + 1 = 106
Проверим второе условие: вторая цифра является средним арифметическим первой и последней цифры.
Число 106: первая цифра 1, последняя цифра 6.
Среднее арифметическое первой и последней цифры:
(1 + 6) / 2 = 3.5 (не является цифрой).
- Для r = 2:
x = 105 + 2 = 107
Проверим второе условие: вторая цифра является средним арифметическим первой и последней цифры.
Число 107: первая цифра 1, последняя цифра 7.
Среднее арифметическое первой и последней цифры:
(1 + 7) / 2 = 4 (вторая цифра 0, не является цифрой).
Попробуем следующий k.
При k = 42:
x = 3 * 42 + r = 126 + r
Пробуем значения r:
- Для r = 1:
x = 126 + 1 = 127
Проверим второе условие: вторая цифра является средним арифметическим первой и последней цифры.
Число 127: первая цифра 1, последняя цифра 7.
Среднее арифметическое первой и последней цифры:
(1 + 7) / 2 = 4 (вторая цифра 2, что соответствует нашему условию).
Таким образом, 127 удовлетворяет всем условиям.
ответ:
127