дано:
A и B — произвольные множества.
найти: Проверить верность тождеств:
а) A ∪ B = A ∩ B;
б) A ∩ B = A ∪ B.
решение:
а) Рассмотрим тождество A ∪ B = A ∩ B.
1. A ∪ B — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
2. A ∩ B — это множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат одновременно и A, и B.
3. Если рассмотреть ситуацию, когда A и B не пересекаются (то есть их пересечение пусто), тогда A ∪ B будет содержать все элементы обоих множеств, а A ∩ B будет пустым множеством.
4. Если A и B имеют общие элементы, то элементы, входящие в A ∪ B, включают все элементы A и все элементы B, тогда как A ∩ B будет включать лишь общие элементы.
Таким образом, A ∪ B не может быть равно A ∩ B, поскольку первое является объединением, а второе – пересечением.
Тождество а) ложно.
б) Рассмотрим тождество A ∩ B = A ∪ B.
1. A ∩ B — это множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат обоим множествам A и B.
2. A ∪ B — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
3. По аналогии с предыдущей частью, если A и B не имеют общих элементов, то A ∩ B будет пустым множеством, а A ∪ B будет содержать все элементы обоих множеств.
4. Даже если A и B имеют общие элементы, между ними нет равенства, так как A ∩ B включает только общие элементы, а A ∪ B включает все элементы обоих множеств.
Таким образом, A ∩ B не может быть равно A ∪ B.
Тождество б) ложно.
ответ:
а) Тождество A ∪ B = A ∩ B ложно.
б) Тождество A ∩ B = A ∪ B ложно.