дано:
A и B — произвольные множества.
найти: Проверить верность тождеств:
а) A ∩ (A ∪ B) = A;
б) A ∪ (A ∩ B) = B.
решение:
а) Проверим тождество A ∩ (A ∪ B) = A.
1. По определению, A ∪ B — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
2. Пересечение A ∩ (A ∪ B) включает только те элементы, которые находятся в A и также входят в A ∪ B.
3. Поскольку A уже входит в A ∪ B, то пересечение A ∩ (A ∪ B) будет равно всем элементам A.
Таким образом, получаем:
A ∩ (A ∪ B) = A.
Тождество а) истинно.
б) Проверим тождество A ∪ (A ∩ B) = B.
1. По определению, A ∩ B включает только те элементы, которые принадлежат обоим множествам A и B.
2. Объединение A ∪ (A ∩ B) включает все элементы, которые принадлежат либо множеству A, либо множеству A ∩ B.
3. Это означает, что если элемент принадлежит A, он будет включен в A ∪ (A ∩ B), независимо от того, принадлежит ли он множеству B.
4. Однако, если элемент не принадлежит A, но принадлежит B, он не будет включен в A ∪ (A ∩ B).
Следовательно, A ∪ (A ∩ B) не обязательно будет равно B, так как в B могут быть элементы, которых нет в A.
Таким образом, получаем:
A ∪ (A ∩ B) ≠ B.
Тождество б) ложно.
ответ:
а) Тождество A ∩ (A ∪ B) = A истинно.
б) Тождество A ∪ (A ∩ B) = B ложно.