дано:
A и B — произвольные множества.
найти: Проверить верность тождеств:
а) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A;
б) A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B.
решение:
а) Рассмотрим тождество (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A.
1. Обратите внимание, что (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) можно упростить, так как объединение одного и того же множества с самим собой дает то же множество: (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A ∩ B.
2. Следовательно, выражение становится A ∩ B = A.
3. Однако, это утверждение неверно в общем случае. Например, если A содержит элементы, которые не принадлежат множеству B, то A ∩ B будет содержать только элементы, общие для обоих множеств, и не может быть равно A.
4. Таким образом, (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) не равняется A в общем случае.
Тождество а) ложно.
б) Рассмотрим тождество A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B.
1. Для начала мы знаем, что A ∩ B — это множество тех элементов, которые одновременно принадлежат A и B.
2. Объединение A ∪ (A ∩ B) включает все элементы, которые находятся в A, а также все элементы, которые принадлежат и A, и B.
3. Это означает, что A ∪ (A ∩ B) включает все элементы A и любые элементы из B, которые уже включены в A.
4. Таким образом, объединение A и всех элементов, содержащихся в A ∩ B, не добавит новых элементов, которых нет в A.
5. Это значит, что A ∪ (A ∩ B) не отличается от A ∪ B, поскольку A содержит все элементы, входящие в A ∩ B.
Таким образом, получается, что A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B.
Тождество б) истинно.
ответ:
а) Тождество (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A ложно.
б) Тождество A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B истинно.