дано:
Натуральные числа меньше 99.
найти: Количество натуральных чисел, которые меньше 99 и не делятся ни на 2, ни на 7.
решение:
1. Определим общее количество натуральных чисел, меньше 99. Это числа от 1 до 98, следовательно, их количество:
N(total) = 98.
2. Теперь найдем количество чисел, которые делятся на 2. Эти числа формируют арифметическую прогрессию 2, 4, 6, ..., 98. Первое число a1 = 2, последнее число an = 98, разность d = 2.
Для нахождения количества членов прогрессии используем формулу:
n = (an - a1) / d + 1,
где n — количество членов.
Подставим значения:
n(2) = (98 - 2) / 2 + 1 = 48 + 1 = 49.
3. Теперь найдем количество чисел, которые делятся на 7. Эти числа формируют прогрессию 7, 14, 21, ..., 98. Первое число a1 = 7, последнее число an = 98, разность d = 7.
Используем ту же формулу:
n(7) = (98 - 7) / 7 + 1.
Подставим значения:
n(7) = (98 - 7) / 7 + 1 = 91 / 7 + 1 = 13 + 1 = 14.
4. Теперь найдем количество чисел, которые делятся одновременно на 2 и на 7 (то есть на 14). Эти числа формируют прогрессию 14, 28, 42, ..., 98. Первое число a1 = 14, последнее число an = 98, разность d = 14.
Используем ту же формулу:
n(14) = (98 - 14) / 14 + 1.
Подставим значения:
n(14) = (98 - 14) / 14 + 1 = 84 / 14 + 1 = 6 + 1 = 7.
5. Теперь применим принцип включения-исключения для нахождения количества чисел, которые делятся на 2 или на 7:
N(2 ∪ 7) = N(2) + N(7) - N(14),
N(2 ∪ 7) = 49 + 14 - 7 = 56.
6. Найдем количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 7:
N(not 2 and not 7) = N(total) - N(2 ∪ 7),
N(not 2 and not 7) = 98 - 56 = 42.
ответ:
Количество натуральных чисел, которые меньше 99 и не делятся ни на 2, ни на 7, равно 42.