дано:
Две множества A и B.
найти: Доказать тождество:
а) A \ (A ∩ B) = A ∩ B
б) B ∪ (A \ B) = A ∪ B
решение:
Рассмотрим диаграммы Эйлера для каждого из случаев.
а) Для доказательства тождества A \ (A ∩ B) = A ∩ B:
1. A - это множество, представленное в виде круга.
2. B - это другое множество, представленное также в виде круга, частично перекрывающего круг A.
3. Пересечение A и B обозначает элементы, которые находятся в обоих множествах (A ∩ B).
4. Теперь A \ (A ∩ B) - это элементы множества A, исключая те, которые также находятся в B. Это означает, что мы берем все элементы из A, за исключением тех, что принадлежат пересечению с B.
Таким образом, мы видим, что:
A \ (A ∩ B) содержит только те элементы, которые есть в A, но нет в B.
Следовательно, A \ (A ∩ B) = A ∩ B не является верным утверждением. Здесь была ошибка в формулировке. Правильное тождество будет A \ (A ∩ B) = A - B, что можно визуализировать на диаграмме, где оставшиеся элементы в A не включают элементы из B.
б) Для доказательства тождества B ∪ (A \ B) = A ∪ B:
1. Рассмотрим множество B.
2. Мы добавляем к нему элементы из A, исключая элементы, которые уже присутствуют в B (A \ B). Это означает, что мы берем все элементы из A, которые не принадлежат B, и объединяем их с множеством B.
3. В результате мы получаем все элементы из B и все уникальные элементы из A.
Таким образом, B ∪ (A \ B) охватывает все элементы, которые находятся в A или B, что является определением объединения двух множеств.
Следовательно, B ∪ (A \ B) = A ∪ B.
ответ:
а) Тождество A \ (A ∩ B) не равно A ∩ B. Верно A \ (A ∩ B) = A - B.
б) Тождество B ∪ (A \ B) = A ∪ B верно.