дано:
Три множества A, B и C.
найти: Доказать тождество:
а) (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ B
б) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C
решение:
Рассмотрим диаграммы Эйлера для каждого из случаев.
а) Для доказательства тождества (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ B:
1. Рассмотрим круги, представляющие множества A и B, которые пересекаются. Пересечение A и B обозначает элементы, находящиеся в обоих множествах (A ∩ B).
2. Теперь мы исключаем элементы множества C из этого пересечения, что обозначается как (A ∩ B) \ C.
3. С другой стороны, (A \ C) представляет собой элементы из A, которые не находятся в C.
4. Объединяя это с множеством B, мы получаем (A \ C) ∩ B, что включает только те элементы, которые есть в B и при этом находятся в A, но отсутствуют в C.
Таким образом, обе стороны равенства представляют одни и те же элементы, то есть:
(A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ B.
б) Для доказательства тождества A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C:
1. Рассмотрим множество B ∪ C, которое включает все элементы, находящиеся либо в B, либо в C, или в обоих множествах.
2. Когда мы вычитаем B ∪ C из A, мы оставляем только те элементы из A, которые не находятся ни в B, ни в C.
3. Теперь рассмотрим правую часть: (A \ B) \ C. Сначала мы берем элементы из A, исключая те, что принадлежат B - это A \ B.
4. Затем мы также исключаем элементы, которые принадлежат C, так что остается только те элементы из A, которые не входят ни в B, ни в C.
Таким образом, обе стороны равенства отражают одно и то же множество элементов, что означает:
A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C.
ответ:
а) Тождество (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ B верно.
б) Тождество A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C также верно.