Дано:
а) Натуральные числа от 1 до 1 000 000.
б) Натуральные числа от 1 до 2 000 000.
Найти:
Количество натуральных чисел, содержащих цифру 1, и количество чисел, не содержащих цифру 1.
Решение:
а) Для чисел от 1 до 1 000 000.
Всего натуральных чисел от 1 до 1 000 000: 1 000 000.
Теперь найдем количество чисел, не содержащих цифру 1. Числа имеют 6 позиций (разряды от миллионов до единиц).
1. Первая цифра (разряд миллионов): может быть 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 8 вариантов).
2. Остальные 5 цифр: каждая может быть 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 9 вариантов для каждой).
Таким образом, количество чисел, не содержащих цифру 1:
N_без_1 = 8 * 9^5.
Теперь найдем 9^5:
9^5 = 59049.
Тогда:
N_без_1 = 8 * 59049 = 472392.
Количество чисел, содержащих цифру 1:
N_с_1 = 1 000 000 - N_без_1 = 1 000 000 - 472392 = 527608.
Ответ по пункту а:
Чисел с цифрой 1: 527608.
Чисел без цифры 1: 472392.
Больше чисел с цифрой 1.
б) Для чисел от 1 до 2 000 000.
Всего натуральных чисел от 1 до 2 000 000: 2 000 000.
Аналогично найдем количество чисел, не содержащих цифру 1.
1. Первая цифра: может быть 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 8 вариантов).
2. Остальные 6 цифр: каждая может быть 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 9 вариантов для каждой).
Таким образом, количество чисел, не содержащих цифру 1:
N_без_1_2млн = 8 * 9^6.
Теперь найдем 9^6:
9^6 = 531441.
Тогда:
N_без_1_2млн = 8 * 531441 = 4251528.
Количество чисел, содержащих цифру 1:
N_с_1_2млн = 2 000 000 - N_без_1_2млн = 2 000 000 - 4251528.
Так как 4251528 больше 2 000 000, то все числа от 1 до 2 000 000 содержат цифру 1.
Ответ по пункту б:
Чисел с цифрой 1: 2 000 000.
Чисел без цифры 1: 0.
Больше чисел с цифрой 1.