Дано: квадрат 3x3, 3 цвета для раскраски клеток, условие — в каждом ряду и столбце не должно быть клеток одного цвета.
Найти: количество способов раскрасить квадрат, удовлетворяющих заданным условиям.
Решение:
1. Обозначим цвета как A, B, C. В каждом ряду и столбце должны быть все три цвета, причем каждый цвет должен встречаться ровно один раз.
2. Первым шагом раскрасим первый ряд. Для этого у нас есть 3! (факториал 3) способа расположить три цвета. Это равно 6 способам.
3. Второй ряд должен быть раскрашен так, чтобы ни один цвет не совпадал с цветами в первом ряду. Для этого нам необходимо использовать перестановки цветов, исключая те, которые совпадают с цветами в первом ряду. Это называется "перестановка без фиксированных точек" (перестановка, где ни один элемент не остается на своем месте).
Для 3 цветов количество таких перестановок (с использованием формулы для количества дерangements) равно 2.
4. Третий ряд также должен соответствовать условиям, поэтому для него остаются только 2 способа раскраски. Мы можем выбрать оставшиеся цвета, так как они также должны соответствовать условиям.
Таким образом, общее количество способов раскраски будет равно:
Количество способов = (способы раскраски первого ряда) * (способы раскраски второго ряда) * (способы раскраски третьего ряда)
Количество способов = 6 (первый ряд) * 2 (второй ряд) * 1 (третий ряд)
Количество способов = 6 * 2 * 1 = 12.
Ответ: 12 способов раскрасить квадрат 3x3 так, чтобы ни в одном вертикальном и ни в одном горизонтальном ряду не было двух клеток одного цвета.