а) Сколько шахматистов участвовало в турнире, если всего было сыграно 55 партий?
Дано:
количество партий P = 55.
Найти: количество шахматистов n.
Решение:
1. В турнире "каждый сыграл с каждым" количество партий можно вычислить по формуле: P = n * (n - 1) / 2.
2. Подставим значение:
55 = n * (n - 1) / 2.
3. Умножим обе стороны на 2:
110 = n * (n - 1).
4. Преобразуем уравнение:
n^2 - n - 110 = 0.
5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-110) = 1 + 440 = 441.
6. Найдем корни:
n = (1 ± √441) / 2 = (1 ± 21) / 2.
7. Получаем два значения:
n1 = (22) / 2 = 11,
n2 = (-20) / 2 = -10 (отрицательное значение не имеет смысла).
8. Следовательно, количество шахматистов n = 11.
Ответ: в турнире участвовало 11 шахматистов.
б) Сколько шахматистов участвовало в турнире, если всего было сыграно 120 партий?
Дано:
количество партий P = 120.
Найти: количество шахматистов n.
Решение:
1. Используем ту же формулу: P = n * (n - 1) / 2.
2. Подставим значение:
120 = n * (n - 1) / 2.
3. Умножим обе стороны на 2:
240 = n * (n - 1).
4. Преобразуем уравнение:
n^2 - n - 240 = 0.
5. Найдем дискриминант:
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-240) = 1 + 960 = 961.
6. Найдем корни:
n = (1 ± √961) / 2 = (1 ± 31) / 2.
7. Получаем два значения:
n1 = (32) / 2 = 16,
n2 = (-30) / 2 = -15 (отрицательное значение не имеет смысла).
8. Следовательно, количество шахматистов n = 16.
Ответ: в турнире участвовало 16 шахматистов.