Question

На прогулку собрались 2n дошкольников. Среди них было ровно п мальчиков и п девочек. По команде воспитателя они все случайным образом разбились на пары и пошли на площадку. После прогулки они опять случайным образом разбивались на пары, чтобы вернуться в детский сад. Найдите вероятность того, что на обратном пути все пары оказались такими же, как и в первый раз (если двое детей были в паре в первый раз, то во второй эти двое детей снова случайно оказались в одной паре), если:
а)  в каждой паре мальчик и девочка;
б)  пары могут быть любые.

Answer 1

дано:

- Общее количество дошкольников = 2n
- Количество мальчиков = n
- Количество девочек = n

найти:

а) вероятность того, что на обратном пути все пары оказались такими же, как и в первый раз, если в каждой паре мальчик и девочка

б) вероятность того, что на обратном пути все пары оказались такими же, как и в первый раз, если пары могут быть любые

решение:

а) В каждой паре мальчик и девочка:

1. В первый раз мальчики могут быть разбиты на пары с девочками. Количество способов разбить n мальчиков и n девочек на пары:

P(пары) = n!

2. Общее количество способов разбить 2n детей на n пар:

Общее количество способов = (2n)! / (2^n * n!)

3. Вероятность того, что пары остаются неизменными:

P(одинаковые пары) = количество благоприятных исходов / общее количество способов

P(одинаковые пары) = n! / ((2n)! / (2^n * n!)) = (2^n * (n!)^2) / (2n)!.

б) Пары могут быть любые:

1. Общее количество способов разбить 2n детей на n пар:

Общее количество способов = (2n)! / (2^n * n!)

2. Вероятность того, что пары остаются неизменными:

P(одинаковые пары) = 1 / ((2n)! / (2^n * n!)) = 2^n * n! / (2n)!

ответ:
а) P(одинаковые пары) = (2^n * (n!)^2) / (2n)!
б) P(одинаковые пары) = 2^n * n! / (2n)!