Дано:
- Количество мальчиков: 10
- Количество девочек: 10
Найти:
Вероятность того, что в каждой паре окажутся мальчик и девочка.
Решение:
1. Общее количество детей:
Общее количество детей = Количество мальчиков + Количество девочек = 10 + 10 = 20.
2. Общее количество способов сформировать пары:
Количество способов выбрать первую пару = 20 * 19 / 2 = 190.
Количество способов выбрать вторую пару = 18 * 17 / 2 = 153.
Количество способов выбрать третью пару = 16 * 15 / 2 = 120.
И так далее, пока не будут выбраны все пары.
Общее количество способов сформировать все 10 пар:
(20 * 19 / 2) * (18 * 17 / 2) * (16 * 15 / 2) * ... * (2 * 1 / 2) = 20! / (10! * 2^10).
3. Количество способов, чтобы пары состояли только из мальчиков и девочек:
Первая пара может состоять из любого мальчика и любой девочки.
Количество способов выбрать пары, чтобы в каждой паре был мальчик и девочка:
10 * 10 (первый мальчик и первая девочка)
Убираем одного мальчика и одну девочку, остается 9 мальчиков и 9 девочек.
Количество способов для следующей пары: 9 * 9, затем 8 * 8 и так далее.
Количество способов выбрать пары с мальчиками и девочками:
10 * 10 * 9 * 9 * 8 * 8 * ... * 1 * 1 = (10!)^2.
4. Вероятность того, что в каждой паре окажутся мальчик и девочка:
P = (Количество способов выбрать пары с мальчиками и девочками) / (Общее количество способов сформировать пары)
P = ((10!)^2) / (20! / (10! * 2^10))
P = ((10!)^2) * (10! * 2^10) / 20!
P = (10!^3 * 2^10) / 20!.
5. Можно упростить эту формулу, зная, что 20! = 20 * 19 * 18 * ... * 1.
Подставляя значения, получаем окончательную формулу.
Ответ:
Вероятность того, что в каждой паре окажется мальчик и девочка, равна (10!^3 * 2^10) / 20!.
Эта вероятность примерно равна 0.176 или 17.6%.