В группе дошкольников 10 мальчиков и 10 девочек. Перед выходом на прогулку их случайным образом расставили в пары. С какой вероятностью в каждой паре оказались мальчик и девочка?
от

1 Ответ

Дано:  
- Количество мальчиков: 10  
- Количество девочек: 10  

Найти:  
Вероятность того, что в каждой паре окажутся мальчик и девочка.

Решение:  

1. Общее количество детей:  
Общее количество детей = Количество мальчиков + Количество девочек = 10 + 10 = 20.

2. Общее количество способов сформировать пары:  
Количество способов выбрать первую пару = 20 * 19 / 2 = 190.  
Количество способов выбрать вторую пару = 18 * 17 / 2 = 153.  
Количество способов выбрать третью пару = 16 * 15 / 2 = 120.  
И так далее, пока не будут выбраны все пары.  
Общее количество способов сформировать все 10 пар:  
(20 * 19 / 2) * (18 * 17 / 2) * (16 * 15 / 2) * ... * (2 * 1 / 2) = 20! / (10! * 2^10).

3. Количество способов, чтобы пары состояли только из мальчиков и девочек:  
Первая пара может состоять из любого мальчика и любой девочки.  
Количество способов выбрать пары, чтобы в каждой паре был мальчик и девочка:  
10 * 10 (первый мальчик и первая девочка)  
Убираем одного мальчика и одну девочку, остается 9 мальчиков и 9 девочек.  
Количество способов для следующей пары: 9 * 9, затем 8 * 8 и так далее.  

Количество способов выбрать пары с мальчиками и девочками:  
10 * 10 * 9 * 9 * 8 * 8 * ... * 1 * 1 = (10!)^2.

4. Вероятность того, что в каждой паре окажутся мальчик и девочка:  
P = (Количество способов выбрать пары с мальчиками и девочками) / (Общее количество способов сформировать пары)  
P = ((10!)^2) / (20! / (10! * 2^10))  
P = ((10!)^2) * (10! * 2^10) / 20!  
P = (10!^3 * 2^10) / 20!.

5. Можно упростить эту формулу, зная, что 20! = 20 * 19 * 18 * ... * 1.  
Подставляя значения, получаем окончательную формулу.

Ответ:  
Вероятность того, что в каждой паре окажется мальчик и девочка, равна (10!^3 * 2^10) / 20!.  
Эта вероятность примерно равна 0.176 или 17.6%.
от