На конференцию собрались учёные — всего 24 человека. Ровно 12 из них знали удивительную новость. Во время первого перерыва учёные пошли в кафе и расселись случайным образом за двухместные столики. Если за одним столиком один из учёных знал новость, а другой нет, то первый рассказал эту новость второму. Какова вероятность того, что после перерыва новость была известна: а) ровно 15 учёным; б) всем учёным?
от

1 Ответ

дано:

- Общее количество учёных = 24
- Количество учёных, знающих новость = 12
- Количество учёных, не знающих новость = 12

найти:

а) вероятность того, что после перерыва новость была известна ровно 15 учёным

б) вероятность того, что после перерыва новость была известна всем учёным

решение:

а) Для того чтобы после перерыва новость была известна ровно 15 учёным, необходимо, чтобы 3 учёных, не знающих новости, сидели за столиками с учеными, знающими новость, и 9 учёных, не знающих новости, сидели с другими учеными, не знающими новость.

1. Количество способов выбрать 3 не знающих новости из 12:

C(12, 3) = 12! / (3! * (12 - 3)!) = (12 * 11 * 10) / (3 * 2 * 1) = 220.

2. Количество способов выбрать 9 не знающих новости, чтобы они сидели с другими не знающими:

Количество способов выбрать 9 не знающих новости из 12:

C(12, 9) = C(12, 3) = 220 (так как C(n, k) = C(n, n-k)).

3. Общее количество способов выбрать 12 пар (разделить 24 учёных на 12 пар):

Общее количество способов = (24! / (2^12 * 12!)).

4. Количество благоприятных исходов:

Каждая из 3 не знающих новости должна сидеть с одним из знающих. Таким образом, количество благоприятных исходов = C(12, 3) * C(12, 9) * (3!) = 220 * 220 * 6 = 29040.

5. Вероятность того, что ровно 15 учёным станет известна новость:

P(ровно 15) = количество благоприятных исходов / общее количество способов = 29040 / (24! / (2^12 * 12!)).

б) Для того чтобы новость была известна всем учёным, необходимо, чтобы все пары состояли из знающих и не знающих новость.

1. Количество способов разбить 12 знающих и 12 не знающих на пары:

Количество благоприятных исходов = 12! (каждый знающий может сидеть с любым не знающим).

2. Вероятность того, что новость станет известна всем:

P(всем) = количество благоприятных исходов / общее количество способов = 12! / (24! / (2^12 * 12!)).

ответ:
а) P(ровно 15) = 29040 / (24! / (2^12 * 12!))
б) P(всем) = 12! / (24! / (2^12 * 12!))
от