дано:
- Общее количество учёных = 24
- Количество учёных, знающих новость = 12
- Количество учёных, не знающих новость = 12
найти:
а) вероятность того, что после перерыва новость была известна ровно 15 учёным
б) вероятность того, что после перерыва новость была известна всем учёным
решение:
а) Для того чтобы после перерыва новость была известна ровно 15 учёным, необходимо, чтобы 3 учёных, не знающих новости, сидели за столиками с учеными, знающими новость, и 9 учёных, не знающих новости, сидели с другими учеными, не знающими новость.
1. Количество способов выбрать 3 не знающих новости из 12:
C(12, 3) = 12! / (3! * (12 - 3)!) = (12 * 11 * 10) / (3 * 2 * 1) = 220.
2. Количество способов выбрать 9 не знающих новости, чтобы они сидели с другими не знающими:
Количество способов выбрать 9 не знающих новости из 12:
C(12, 9) = C(12, 3) = 220 (так как C(n, k) = C(n, n-k)).
3. Общее количество способов выбрать 12 пар (разделить 24 учёных на 12 пар):
Общее количество способов = (24! / (2^12 * 12!)).
4. Количество благоприятных исходов:
Каждая из 3 не знающих новости должна сидеть с одним из знающих. Таким образом, количество благоприятных исходов = C(12, 3) * C(12, 9) * (3!) = 220 * 220 * 6 = 29040.
5. Вероятность того, что ровно 15 учёным станет известна новость:
P(ровно 15) = количество благоприятных исходов / общее количество способов = 29040 / (24! / (2^12 * 12!)).
б) Для того чтобы новость была известна всем учёным, необходимо, чтобы все пары состояли из знающих и не знающих новость.
1. Количество способов разбить 12 знающих и 12 не знающих на пары:
Количество благоприятных исходов = 12! (каждый знающий может сидеть с любым не знающим).
2. Вероятность того, что новость станет известна всем:
P(всем) = количество благоприятных исходов / общее количество способов = 12! / (24! / (2^12 * 12!)).
ответ:
а) P(ровно 15) = 29040 / (24! / (2^12 * 12!))
б) P(всем) = 12! / (24! / (2^12 * 12!))