Дано:
1. Пусть n – общее количество учёных.
2. Каждый учёный знаком с 4 другими, кроме троих, которые знакомы ровно с 5 другими.
Найти:
1. Возможное значение n (общее количество учёных).
Решение:
1. Рассмотрим общую структуру знакомств. Если каждый из n учёных знаком с 4 другими, то каждый из них имеет степень знакомства 4, кроме троих, у которых степень знакомства 5.
2. Пусть у нас есть три учёных A, B и C, которые знакомы с 5 другими. Остальные (n - 3) знакомы с 4.
3. Подсчитаем общее количество "знакомств":
Общее количество "знакомств" (степени вершин в графе) равно сумме степеней всех учёных:
Сумма степеней = 5 * 3 + 4 * (n - 3).
Эта сумма также равна удвоенному количеству рёбер в графе, так как каждое знакомство учитывается дважды. Обозначим количество рёбер как E. Тогда:
E = (5 * 3 + 4 * (n - 3)) / 2.
4. Кроме того, количество рёбер в графе можно выразить через количество знакомых: если все учёные знакомы с 4 другими, то:
E = 4 * (n - 3) / 2 + 5 * 3 / 2.
5. Уравнение будет выглядеть так:
5 * 3 + 4 * (n - 3) = 4n.
6. Раскроем скобки и упростим уравнение:
15 + 4n - 12 = 4n.
Это упростится до:
3 = 0, что невозможно.
Таким образом, это уравнение не имеет решения, и следовательно, такая ситуация, при которой все учёные соответствуют указанным условиям, невозможна.
Ответ:
Такая ситуация невозможна.