На конференцию собрались учёные. Могло ли оказаться так, что каждый из них знаком с четырьмя другими учёными, кроме троих, которые знакомы ровно с пятью другими?
от

1 Ответ

Дано:

1. Пусть n – общее количество учёных.
2. Каждый учёный знаком с 4 другими, кроме троих, которые знакомы ровно с 5 другими.

Найти:

1. Возможное значение n (общее количество учёных).

Решение:

1. Рассмотрим общую структуру знакомств. Если каждый из n учёных знаком с 4 другими, то каждый из них имеет степень знакомства 4, кроме троих, у которых степень знакомства 5.
2. Пусть у нас есть три учёных A, B и C, которые знакомы с 5 другими. Остальные (n - 3) знакомы с 4.
3. Подсчитаем общее количество "знакомств":

Общее количество "знакомств" (степени вершин в графе) равно сумме степеней всех учёных:

Сумма степеней = 5 * 3 + 4 * (n - 3).

Эта сумма также равна удвоенному количеству рёбер в графе, так как каждое знакомство учитывается дважды. Обозначим количество рёбер как E. Тогда:

E = (5 * 3 + 4 * (n - 3)) / 2.

4. Кроме того, количество рёбер в графе можно выразить через количество знакомых: если все учёные знакомы с 4 другими, то:

E = 4 * (n - 3) / 2 + 5 * 3 / 2.

5. Уравнение будет выглядеть так:

5 * 3 + 4 * (n - 3) = 4n.

6. Раскроем скобки и упростим уравнение:

15 + 4n - 12 = 4n.

Это упростится до:

3 = 0, что невозможно.

Таким образом, это уравнение не имеет решения, и следовательно, такая ситуация, при которой все учёные соответствуют указанным условиям, невозможна.

Ответ:

Такая ситуация невозможна.
от