Дано:
- Игральная кость – правильная (6 граней).
- Броски кости: X1 и X2.
- Сумма выпавших очков: X1 + X2 < 10.
Найти:
а) Вероятность того, что в первый раз выпало меньше четырёх очков (P(X1 < 4)).
б) Вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7 (P(X1 + X2 = 7)).
Решение:
a) Для поиска вероятности P(X1 < 4) при условии, что X1 + X2 < 10, сначала определим все возможные пары (X1, X2), которые удовлетворяют этому условию.
Суммы, которые меньше чем 10, могут быть следующими:
- Сумма 2: (1, 1)
- Сумма 3: (1, 2), (2, 1)
- Сумма 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1)
- Сумма 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)
- Сумма 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
- Сумма 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
- Сумма 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
- Сумма 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
Теперь подсчитаем общее количество благоприятных исходов:
Всего пар (X1, X2) с суммой меньше 10: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 = 30.
Из этих пар найдем те, для которых X1 < 4:
- (1, 1)
- (1, 2)
- (1, 3)
- (1, 4)
- (1, 5)
- (1, 6)
- (2, 1)
- (2, 2)
- (2, 3)
- (2, 4)
- (2, 5)
- (2, 6)
- (3, 1)
- (3, 2)
- (3, 3)
Количество благоприятных исходов, где X1 < 4: 15.
Вероятность P(X1 < 4) вычисляется как:
P(X1 < 4) = Количество благоприятных исходов / Общее количество исходов = 15/30 = 1/2.
Ответ: Вероятность того, что в первый раз выпало меньше четырёх очков, равна 1/2.
b) Теперь найдем вероятность P(X1 + X2 = 7). Подходящие комбинации (X1, X2) для суммы 7:
- (1, 6)
- (2, 5)
- (3, 4)
- (4, 3)
- (5, 2)
- (6, 1)
Количество благоприятных исходов, где сумма равна 7: 6.
Вероятность P(X1 + X2 = 7) вычисляется как:
P(X1 + X2 = 7) = Количество благоприятных исходов / Общее количество исходов = 6/30 = 1/5.
Ответ: Вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7, равна 1/5.