Дано:
1. Коробка 1: два черных шара (Ч, Ч)
2. Коробка 2: два белых шара (Б, Б)
3. Коробка 3: один черный и один белый шар (Ч, Б)
Необходимо найти вероятность того, что в открытой коробке остался тоже белый шар, при условии что вынутый шар оказался белым.
Решение:
Сначала определим вероятность того, что вынутый шар белый из каждой коробки.
1. Для коробки 1 (Ч, Ч): вероятность извлечь белый шар равна 0, так как там только черные.
2. Для коробки 2 (Б, Б): вероятность извлечь белый шар равна 1, так как там только белые.
3. Для коробки 3 (Ч, Б): вероятность извлечь белый шар равна 0,5, так как есть один черный и один белый.
Теперь найдем общую вероятность того, что вынутый шар белый, обозначим её P(Белый):
P(Белый) = P(Белый|Коробка 1) * P(Коробка 1) + P(Белый|Коробка 2) * P(Коробка 2) + P(Белый|Коробка 3) * P(Коробка 3)
Так как коробки выбираются наугад, вероятность выбора любой коробки равна 1/3:
P(Белый) = 0 * (1/3) + 1 * (1/3) + 0,5 * (1/3)
= 0 + 1/3 + 0,5/3
= 1/3 + 1/6
= 2/6 + 1/6
= 3/6
= 1/2
Теперь вычислим вероятность того, что в открытой коробке остался белый шар при условии, что первый шар оказался белым, обозначим это как P(Остался белый|Белый).
Для этого нужно определить, в каких коробках оставшийся шар может быть белым:
- Если выбрана коробка 2 (Б, Б), то второй шар также белый.
- Если выбрана коробка 3 (Ч, Б), то второй шар черный и не будет белым.
Подставляя все известные значения:
P(Остался белый|Белый) = P(Коробка 2|Белый) * 1 + P(Коробка 3|Белый) * 0
Найдём P(Коробка 2|Белый) и P(Коробка 3|Белый) с помощью формулы Байеса:
P(Коробка 2|Белый) = P(Белый|Коробка 2) * P(Коробка 2) / P(Белый)
= 1 * (1/3) / (1/2)
= (1/3) * (2/1)
= 2/3
P(Коробка 3|Белый) = P(Белый|Коробка 3) * P(Коробка 3) / P(Белый)
= 0,5 * (1/3) / (1/2)
= (0,5/3) * (2/1)
= 1/3
Теперь подставим эти значения в формулу для P(Остался белый|Белый):
P(Остался белый|Белый) = (2/3) * 1 + (1/3) * 0
= 2/3 + 0
= 2/3
Ответ: P(Остался белый|Белый) = 2/3.