дано:
- Ваня бросает монету n + 1 раз.
- Таня бросает монету n раз.
найти:
а) Какое событие более вероятно: «У Вани и у Тани орлов выпадет поровну» или «У Вани выпадет на одного орла больше, чем у Тани»?
б) Какова вероятность события «У Вани орлов выпадет больше, чем у Тани»?
решение:
Обозначим количество орлов, выпавших у Вани, как X, а у Тани - как Y. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами (n + 1, 0.5), а Y — биномиальное распределение с параметрами (n, 0.5).
а) События:
1. "У Вани и у Тани орлов выпадет поровну" соответствует событию P(X = Y).
2. "У Вани выпадет на одного орла больше, чем у Тани" соответствует событию P(X = Y + 1).
Вероятность события P(X = k) для биномиального распределения вычисляется по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),
где C(n, k) - биномиальный коэффициент, p - вероятность выпадения орла (0.5).
Для событий:
1. P(X = Y):
Это вероятности всех сочетаний X и Y, где они равны. Мы можем выразить это через сумму вероятностей для соответствующих значений k:
P(X = Y) = Σ(P(X = k) * P(Y = k)), для k от 0 до n.
2. P(X = Y + 1):
Это также можно выразить аналогично:
P(X = Y + 1) = Σ(P(X = k + 1) * P(Y = k)), для k от 0 до n - 1.
Теперь заметим, что когда Ваня делает на один бросок больше, чем Таня, то вероятность того, что у них будет равно количество орлов, меньше, чем вероятность того, что у Вани будет на 1 орла больше из-за добавленного броска.
Таким образом, P(X = Y + 1) будет больше, чем P(X = Y).
Ответ на часть а: событие «У Вани выпадет на одного орла больше, чем у Тани» более вероятно.
б) Чтобы найти вероятность события "У Вани орлов выпадет больше, чем у Тани", мы ищем P(X > Y).
С помощью свойства симметрии и замены переменных, можно записать:
P(X > Y) = P(Y < X) = P(X < Y) + P(X = Y).
Из этого следует, что:
P(X > Y) + P(X < Y) + P(X = Y) = 1.
В соответствии с тем, что у нас есть нечетное количество бросков у Вани (n + 1) и четное у Тани (n), вероятность того, что одно из двух событий X > Y или Y > X происходит, будет равна 0.5, поскольку в случае равного количества бросков и при равной вероятности выпадения, результаты будут симметричны.
Таким образом, получаем:
P(X = Y) + 2*P(X > Y) = 1
Или:
P(X > Y) = (1 - P(X = Y)) / 2.
Однако, так как P(X = Y) будет меньше, чем 0.5 (из-за большего числа бросков у Вани), получается, что:
P(X > Y) > 0.5.
Как следствие, P(X > Y) будет иметь вид:
P(X > Y) = (1 + P(X = Y)) / 2.
При n больших, P(X > Y) стремится к 0.5, но при вычислении с учетом нечетного количества бросков у Вани и четного у Тани, можно предположить, что:
P(X > Y) = 0.5 + ε, где ε > 0.
Таким образом, для нахождения точной вероятности нужно использовать таблицы биномиальных распределений или программное обеспечение.
Ответ:
а) Более вероятно событие «У Вани выпадет на одного орла больше, чем у Тани».
б) Вероятность P(X > Y) больше 0.5.