Дано:
Вероятность успеха p = 0,2.
Вероятность неудачи q = 1 - p = 0,8.
Найти: вероятность события:
а) «успех наступит не позже, чем при третьем испытании»;
б) «потребуется от четырёх до шести испытаний».
Решение:
Для серии одинаковых испытаний (где мы ищем первый успех) используется геометрическое распределение.
а) Вероятность того, что успех наступит не позже, чем при третьем испытании:
Это означает, что успех может наступить на первом, втором или третьем испытании. Расчитаем каждую из этих вероятностей и сложим их.
P(X = 1) = p = 0,2.
P(X = 2) = q * p = 0,8 * 0,2 = 0,16.
P(X = 3) = q^2 * p = (0,8)^2 * 0,2 = 0,64 * 0,2 = 0,128.
Теперь найдем общую вероятность:
P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
= 0,2 + 0,16 + 0,128
= 0,488.
б) Вероятность того, что потребуется от четырёх до шести испытаний:
Это означает, что успех произойдет на четвёртом, пятом или шестом испытаниях. Рассчитаем каждую из этих вероятностей.
P(X = 4) = q^3 * p = (0,8)^3 * 0,2 = 0,512 * 0,2 = 0,1024.
P(X = 5) = q^4 * p = (0,8)^4 * 0,2 = 0,4096 * 0,2 = 0,8192 * 0,2 = 0,16384.
P(X = 6) = q^5 * p = (0,8)^5 * 0,2 = 0,32768 * 0,2 = 0,65536 * 0,2 = 0,131072.
Теперь найдем общую вероятность:
P(4 ≤ X ≤ 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
= 0,1024 + 0,16384 + 0,32768
= 0,59328.
Ответ:
а) Вероятность того, что успех наступит не позже, чем при третьем испытании, равна 0,488.
б) Вероятность того, что потребуется от четырёх до шести испытаний, равна 0,593.