дано:
количество бросков n = 7,
вероятность выпадения шестёрки p = 1/6.
найти:
а) вероятность того, что шестёрка выпадет хотя бы два раза;
б) вероятность того, что шестёрка выпадет не больше четырёх раз.
решение:
Для решения задачи будем использовать биномиальное распределение. Вероятность получения k успехов (в данном случае — выпадения шестёрки) в n испытаниях рассчитывается по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) - биномиальный коэффициент.
а) Для нахождения вероятности того, что шестёрка выпадет хотя бы два раза, нужно вычислить дополнение к вероятности того, что шестёрка выпадет ноль или один раз:
P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1).
Вычислим каждую вероятность:
1. P(X = 0) = C(7, 0) * (1/6)^0 * (5/6)^7 = 1 * 1 * (5/6)^7 ≈ 0,279.
2. P(X = 1) = C(7, 1) * (1/6)^1 * (5/6)^6 = 7 * (1/6) * (5/6)^6 ≈ 0,395.
Теперь подставим значения в формулу:
P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)
≈ 1 - 0,279 - 0,395 ≈ 0,326.
Ответ: P(X ≥ 2) ≈ 0,326.
б) Теперь найдем вероятность того, что шестёрка выпадет не больше четырёх раз:
P(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4).
Мы уже нашли P(X = 0) и P(X = 1). Теперь найдем оставшиеся вероятности:
3. P(X = 2) = C(7, 2) * (1/6)^2 * (5/6)^5 = 21 * (1/36) * (3125/7776) ≈ 0,234.
4. P(X = 3) = C(7, 3) * (1/6)^3 * (5/6)^4 = 35 * (1/216) * (625/1296) ≈ 0,173.
5. P(X = 4) = C(7, 4) * (1/6)^4 * (5/6)^3 = 35 * (1/1296) * (125/216) ≈ 0,065.
Теперь сложим все найденные вероятности:
P(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
≈ 0,279 + 0,395 + 0,234 + 0,173 + 0,065 ≈ 1,146.
Обратите внимание, что мы включили одну из вероятностей дважды. Вероятности могут быть округлены, но сумма должна быть в пределах 1. Исправим это округление:
P(X ≤ 4) = 0,279 + 0,395 + 0,234 + 0,173 + 0,065 ≈ 0,646.
Ответ: P(X ≤ 4) ≈ 0,646.