дано:
количество испытаний n = 20,
вероятность успеха p = 0.4,
вероятность неудачи q = 1 - p = 0.6.
найти:
а) отношение вероятностей событий A «ровно 6 успехов» и B «ровно 7 успехов»;
б) отношение вероятностей событий A «ровно 6 успехов» и B «ровно 14 успехов».
решение:
Вероятность того, что в n испытаниях будет ровно k успехов, рассчитывается по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)) - биномиальный коэффициент.
1. Для пункта а) найдем P(A) и P(B):
- Вычислим P(A) для k = 6:
C(20, 6) = 20! / (6! * 14!) = 38760.
P(A) = C(20, 6) * (0.4)^6 * (0.6)^(20 - 6)
= 38760 * (0.4)^6 * (0.6)^14
= 38760 * 0.004096 * 0.018017
≈ 38760 * 0.0000738
≈ 2.861.
- Вычислим P(B) для k = 7:
C(20, 7) = 20! / (7! * 13!) = 77520.
P(B) = C(20, 7) * (0.4)^7 * (0.6)^(20 - 7)
= 77520 * (0.4)^7 * (0.6)^13
= 77520 * 0.0016384 * 0.027991
≈ 77520 * 0.0000458
≈ 3.557.
Теперь найдем отношение вероятностей:
P(A) / P(B) ≈ 2.861 / 3.557 ≈ 0.804.
2. Для пункта б) найдем P(A) и P(B):
- Вычислим P(A) для k = 6 (уже рассчитано):
P(A) ≈ 2.861.
- Вычислим P(B) для k = 14:
C(20, 14) = C(20, 6) = 38760 (по свойству симметрии биномиального распределения).
P(B) = C(20, 14) * (0.4)^14 * (0.6)^(20 - 14)
= 38760 * (0.4)^14 * (0.6)^6
= 38760 * 0.00016384 * 0.046656
≈ 38760 * 0.00000765
≈ 0.296.
Теперь найдем отношение вероятностей:
P(A) / P(B) ≈ 2.861 / 0.296 ≈ 9.66.
ответ:
а) отношение вероятностей событий A и B составляет примерно 0.804;
б) отношение вероятностей событий A и B составляет примерно 9.66.