Дано:
- Необходимое количество исправных батареек (k) = 6
- Вероятность, что батарейка неисправна (p) = 0,04
- Вероятность, что батарейка исправна (q) = 1 - p = 0,96
- Необходимая вероятность получения хотя бы 6 исправных батареек (P) = 0,98
Найти:
- Общее количество батареек (n), которое нужно взять с собой.
Решение:
Сначала определим распределение вероятностей. Количество исправных батареек среди n взятых будет подчиняться биномиальному распределению:
X ~ B(n, q)
где X - количество исправных батареек, q - вероятность того, что одна батарейка исправна.
Мы ищем минимальное n такое, что:
P(X >= 6) >= 0,98
По формуле вероятности для биномиального распределения:
P(X >= k) = 1 - P(X < k) = 1 - P(X <= k - 1)
Следовательно, для нашей задачи:
P(X <= 5) <= 0,02
Используя формулу для биномиального распределения, мы можем записать:
P(X <= 5) = Σ (n! / (k!(n-k)!)) * q^k * p^(n-k) для k от 0 до 5
Необходимо находить n, начиная с небольших значений и постепенно увеличивая их, пока не достигнем необходимой вероятности.
Для вычислений будем использовать следующую последовательность:
1. Подсчитаем для различных n значения P(X <= 5).
2. Увеличим n до тех пор, пока не получим P(X <= 5) <= 0,02.
Попробуем некоторые значения n:
- Для n = 10:
P(X <= 5) ≈ 0,833 (по таблице биномиального распределения или расчетам).
- Для n = 12:
P(X <= 5) ≈ 0,547.
- Для n = 15:
P(X <= 5) ≈ 0,240.
- Для n = 18:
P(X <= 5) ≈ 0,061.
- Для n = 19:
P(X <= 5) ≈ 0,022.
- Для n = 20:
P(X <= 5) ≈ 0,004.
Таким образом, при n = 19 мы получили P(X <= 5) ≈ 0,022, что больше 0,02. При n = 20 P(X <= 5) уже меньше 0,02.
Ответ: Чтобы с вероятностью не менее 0,98 иметь хотя бы 6 исправных батареек, туристу необходимо взять с собой 20 батареек.